Isaac Newton


(Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727) Científico inglés. Fundador de la física clásica, que mantendría plena vigencia hasta los tiempos de Einstein, la obra de Newton representa la culminación de la revolución científica iniciada un siglo antes por Copérnico. En sus Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) estableció las tres leyes fundamentales del movimiento y dedujo de ellas la cuarta ley o ley de gravitación universal, que explicaba con total exactitud las órbitas de los planetas, logrando así la unificación de la mecánica terrestre y celeste.


Hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos y filosóficos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo Galilei, Johannes Kepler, Francis Bacon, René Descartes y otros.

Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en física y matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces había ya obtenido una cátedra en su universidad (1669). Protagonista fundamental de la «Revolución científica» de los siglos XVI y XVII y padre de la mecánica clásica, Newton siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos de ellos se conocieron con años de retraso. Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton).

Las aportaciones esenciales de Isaac Newton se produjeron en el terreno de la física. Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703). También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica.


La mecánica newtoniana

Pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica. En su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario.

De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley de la gravedad, que según la leyenda le fue sugerida por la observación de la caída de una manzana del árbol. Descubrió que la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza mediante el producto de ese cociente por una constante G; al extender ese principio general a todos los cuerpos del Universo lo convirtió en la ley de gravitación universal.

La mayor parte de estas ideas circulaban ya en el ambiente científico de la época; pero Newton les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante más de dos siglos. Si todavía en nuestros días resulta admirable la elegancia y sencillez de la mecánica newtoniana, puede imaginarse el deslumbramiento que produjo en sus contemporáneos aquella clarificación de un vasto conjunto de fenómenos; así lo expresó un compatriota suyo, el poeta Alexander Pope: "La Naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche, pero dijo Dios: ¡Hágase la luz!, y nació Isaac Newton". Hasta que terminó su trabajo científico propiamente dicho (hacia 1693), Newton se dedicó a aplicar sus principios generales a la resolución de problemas concretos, como la predicción de la posición exacta de los cuerpos celestes, convirtiéndose en el mayor astrónomo del siglo. Sobre todos estos temas mantuvo agrios debates con otros científicos (como Edmund Halley, Robert Hooke, Leibniz o John Flamsteed), en los que encajó mal las críticas y se mostró extremadamente celoso de sus posiciones.

Como profesor de Cambridge, Newton se enfrentó a los abusos de Jacobo II contra la universidad, lo cual le llevó a aceptar un escaño en el Parlamento surgido de la «Gloriosa Revolución» (1689-90). En 1696 el régimen le nombró director de la Casa de la Moneda, buscando en él un administrador inteligente y honrado para poner coto a las falsificaciones. Volvería a representar a su universidad en el Parlamento en 1701. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres. Y en 1705 culminó la ascensión de su prestigio al ser nombrado caballero.

Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme

El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (­M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que recorre. 
 En lo siguiente podrás visualizar dicha relación. Vamos a establecer una relación entre un movimiento vobratorio armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:
- Hallar la ecuación del MAS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el desfase.

Observando el applet que viene a continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelga del resorte ocupa una posición determinada.  Observa que la posición de la masa del resorte coincide exactamente con la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma de línea azul en el diámetro vertical.
Es decir, como resumen, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple.


 Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro.
Los vectores azul y amarillo, que varían en el applet, corresponden al valor de la velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa su variación y comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los puntos de mínima y máxima elongación. Observa también como el vector rojo de la gráfica de la derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyección sobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos afirmado anteriormente.

Mecanica Cuantica

En mecánica cuántica no puede hablarse propiamente de trayectorias, pero existe también un análogo cuántico de dicho movimiento.

Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:
V(x) = \frac{m\omega^2x^2}{2}, \qquad V_- = +\infty,\quad V_+ = +\infty, \quad V_L = 0
Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:
E_n = \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right)
y las funciones de onda asociadas son:
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} e^{\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right)} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

Mecanica Relativista

En mecánica relativista el análogo del movimiento armónico simple, es un movimiento en el que la fuerza es proporcional a la elongación pero debido a las peculiaridades de la teoría de la relatividad el movimiento resultante es sólo cuasiarmónico, y no exactamente armónico.


El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \left[ 1 - \left(\frac{1}{c} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right)^2 \right]^{-3/2} = -\frac{k}{m}x
Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de contorno x(0) = 0, \dot{x}(0) = v_0 dada por:
x(t) = \frac{c}{\omega_2(B)}\arcsin\left( \frac{v_0}{c}\sin(\omega_2 t) \right)
donde:
B = v_0/\sqrt{c^2-v_0^2}
\omega_2(B) = \omega \sqrt{\frac{(256+312B^2+83B^4)\sqrt{4+3B^2}}{512+1008B^2+620B^4+114B^6}}

Cinematica de Movimiento Armonico Simple

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.


Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.
Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que F_{x} = - kx\, donde k\, es una constante positiva y x\, es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

 Siendo m\, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo \scriptstyle \omega^{2} = k/m se obtiene la siguiente ecuación donde \omega es la frecuencia angular del movimiento:

(2) \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x
La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3) x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,
donde:

x\, es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
A\, es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
\omega\, es la frecuencia angular
t\, es el tiempo.
\phi\, es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4)f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, y por lo tanto el periodo como T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,.

Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

(5) v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)

Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

(6) a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,

Amplitud y fase inicial

La amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación x_{0} y de la velocidad v_{0} iniciales.

(7) x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquad x_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi

(8) v_{0} = -\omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquad v_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9) x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = A^{2} \qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10) \frac{v_0}{x_0}= \frac{-\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right)

Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:

(11)F=-k\, x
Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12) F=-k\, x=m\, a\qquad\Rightarrow\qquad a=-\frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13)\omega^{2}=\frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14) T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Energía del movimiento armónico simple


Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica (Em) en el movimiento armónico en función de la la elongación.


Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15) E_p = \frac{1}{2} kx^2
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16) E_{c}=\frac{1}{2}m\, v^{2}
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17) E_{c}^{max}=\frac{1}{2}m\,\omega^{2}A^{2}
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18) E_p + E_c = E_m \,
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = -A y x = A. Se obtiene entonces que,

(19)E_{m} = E_p^{max} + 0 = \frac{1}{2} k A^{2}
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0

(20)E_{m} = 0 + E_c^{max} = \frac{1}{2} m\,\omega^{2}A^{2}
Suscribirse a: Entradas (Atom)