Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.
Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple. |
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:
(2)La solución de la ecuación diferencial ( ) puede escribirse en la forma
(3)donde:
- es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
- es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
- es la frecuencia angular
- es el tiempo.
- es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
(4), y por lo tanto el periodo comoLa velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión .
Velocidad
La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:(5)
Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:(6)
Amplitud y fase inicial
La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad iniciales.(7)
(8)Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones ( ) y ( ) obtenemos
(9)Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones ( ) y ( ) obtenemos
(10)
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional:(11)Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
(12)Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración ( ) se deduce:
(13)Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
(14)
Energía del movimiento armónico simple
Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica (Em) en el movimiento armónico en función de la la elongación. |
(15)La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:
(16)La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).
(17)Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.
(18)Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos y . Se obtiene entonces que,
(19)O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio
(20)