Mecanica Cuantica

En mecánica cuántica no puede hablarse propiamente de trayectorias, pero existe también un análogo cuántico de dicho movimiento.

Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:
V(x) = \frac{m\omega^2x^2}{2}, \qquad V_- = +\infty,\quad V_+ = +\infty, \quad V_L = 0
Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:
E_n = \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right)
y las funciones de onda asociadas son:
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} e^{\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right)} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}